Vector fields with heteroclinic networks

Abstract

O trabalho desenvolvido ao longo desta tese tem como ponto de partida uma família de equações diferenciais apresentada e estudada por Field (Ver M.J Field, 1996, Lectures on Bifurcations, Dynamics and Symmetry, Pitman Research Notes in Mathematics Series 356, Longman).Field conjectura, com base no seu estudo analítico e numérico, a existência, para certos valores dos parâmetros, de uma rede heteroclínica envolvendo os equilíbrios e as trajectórias periódicas na dinâmica do sistema. No caso de as variedades invariantes de dimensão 2 dos equilíbrios e das trajectórias periódicas se intersectarem transversalmente, Field conjectura também a existência de dinâmica da ferradura da rede heteroclínica.Nesta tese provamos as conjecturas de Field. O trabalho aqui desenvolvido indica a existência de uma rede heteroclínica de Shilnikov e prova a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de uma tal rede heteroclínica.Usamos a simetria do sistema para definir a rede heteroclínica quociente. Isto sugeriu-nos uma abordagem para estudar a dinâmica na vizinhança da rede heteroclínica de Shilnikov. O estudo da dinâmica é efectuado com recurso a uma codificação da dinâmica ao longo da rede heteroclínica e a uma codificação local na vizinhança dos ciclos heteroclínicos na rede quociente.Construímos exemplos simples contendo ciclos heteroclínicos de Shilnikov que são topologicamente equivalentes a ciclos heteroclínicos quocientes no exemplo de Field. Um facto importante acerca destes exemplos é que, apesar de possuírem dinâmica complexa, pela forma como são construídos, são mais fáceis de manipular analiticamente. Por exemplo, provamos analiticamente a intersecção transversal das variedades invariantes de dimensão 2.Os exemplos que construímos ajudam a compreender o comportamento complexo no exemplo de Field. Provamos a existência de dinâmica da ferradura na vizinhança de ciclos heteroclínicos envolvendo duas selas com autovalores complexos. Isto prova a existência ...