Politopos convexos regulares

Abstract

Este trabalho começa por abordar a classificação dos politopos convexos regulares de dimensão qualquer, tendo como ponto de partida a obra Regular Polytopes, de H. S. M. Coxeter. Em primeiro lugar, é estabelecida uma condição necessária para a existência de tais politopos (critério de Schlafli), sendo depois demonstrada a sua existência, o que inclui a construção dos politopos convexos regulares de dimensão 4 que possuem 24, 120 e 600 células. Assim, sabido o número infinito numerável de polígonos regulares do plano e os cinco sólidos platónicos tridimensionais, conclui-se que há seis politopos convexos regulares tetradimensionais e, em dimensões maiores que 4, apenas existem três. Complementarmente, estabelecem-se relações entre duas pavimentações (de [imagem com expressão matemática: "R2"] e [imagem com expressão matemática: "R4"]) e os elementos inteiros de norma unitária de duas álgebras associativas sobre os números reais: a dos complexos e a dos quaterniões. O capítulo final é dedicado à relação entre os poliedros regulares e as soluções inteiras das equações [imagem com expressão matemática: "[x2 + y2 + z2 = n]" ], tendo por objectivo encontrar as soluções que correspondem aos vértices dos cinco sólidos platónicos.