Relações entre a dinâmica de operadores implícitos e a estrutura de grupos finitos

Abstract

Um operador implícito n-ário sobre uma pseudovariedade V é um n-uplo de operações implícitas n-árias sobre V. A interpretação de um operador implícito numa álgebra pró-V é a transformação n-ária cujas componentes são as interpretações das operações implícitas que definem esse operador. Abordamos dois temas envolvendo a relação entre a dinâmica de operadores implícitos e a estrutura de grupos finitos. O primeiro desses temas debruça-se sobre operadores implícitos invertíveis; neste caso somos levados a um estudo prévio de algumas propriedades aritméticas do limite projectivo dos anéis dos restos módulo um número natural, o qual é um anel onde o anel dos inteiros está mergulhado. Nomeadamente, mostra mos que um elemento desse limite projectivo é invertível se e só se não for divisível por nenhum primo inteiro. O segundo tema incide sobre os comutadores de Engel. A primeira componente da n-ésima iteração do operador ([x,y],y) é um comutador de Engel. Uma questão que acaba por revelar-se importante é a da escolha de uma definição para o comutador [x,y] entre as opções xyx^(-1)y^(-1) e x^(-1)y^(-1)xy. Se adoptarmos a primeira opção então os grupos finitos onde o operador ([x,y],y) é aperiódico são precisamente os grupos nilpotentes finitos. Se adoptarmos a segunda definição então encontramos exemplos de grupos finitos não nilpotentes onde ([x,y],y) é aperiódico (por exemplo, o grupo simétrico em 3 letras); mostramos que esses grupos são divisíveis pelo grupo simétrico em 3 letras. Entre outras questões relacionadas com o comportamento dinâmico do operador ([x,y],y), destacamos o estudo que fizemos dos grupos diedrais. Referências básicas:J. Almeida, Dynamics of finite semigroups, in Semigroups, Algorithms, Automata and Languages, G. M. S. Gomes, J.-E. Pin, and P. V. Silva, eds., Singapore, 2002, World Scientific, 269-292.F. Grunewald, B. Kuniavskii, D. Nikolova, and E. Plotkin, Two-variable identities in groups and Lie algebras, ...