Teorema do Ponto Fixo de Banach : Algumas generalizações e aplicações

Abstract

Esta tese insere-se na Teoria do Ponto Fixo. Tal área tem sido uma ferramenta útil na resolução de algumas equações não-lineares, integrais e diferenciais.Dois dos ramos principais da Teoria do Ponto Fixo são a Teoria Topológica do Ponto Fixo e Teoria Métrica do Ponto Fixo. Este trabalho enquadra-se neste último ramo.Esta teoria teve início com o teorema do ponto fixo de Banach, o qual afirma que uma contracção, definida num espaço métrico completo, possui um único ponto fixo. Ao longo deste nosso trabalho estudamos alguns resultados envolvendo teoremas métricos de ponto fixo e aplicações em diversos ramos da matemática.Assim sendo, dividimos a tese em quatro capítulos.No primeiro capítulo apresentamos alguns conceitos necessários e que serão utilizados posteriormente, tais como espaços métricos completos e espaços de Banach. O teorema principal deste capítulo é o teorema do ponto fixo de Banach, base deste estudo. Mostramos também que, para uma aplicação definida num espaço métrico completo ter um ponto fixo, não é necessário que seja uma contracção; basta que uma sua iterada o seja. Estudamos em que casos podemos garantir que os pontos fixos de uma sucessão de contracções [ imagem de expressão matemática: "( fn)n pertence a N"] convergentes para uma dada contracção f, convirjam para o ponto fixo de f.No segundo capítulo examinamos pontos fixos de outros tipos de funções: funções fracamente contractivas e funções não-expansivas. Ambos os conceitos são generalizações do conceito de contracção. Algumas hipóteses adicionais tais como existir uma órbita com um ponto de acumulação, são suficientes para garantir a existência de um ponto fixo. Mostramos também que, em determinadas condições, uma família de funções não-expansivas comutativas possuem um ponto fixo comum. A maior parte dos resultados expostos foram provados por M. Edelstein, L. Belluce e W. Kirk.No terceiro capítulo fazemos o estudo das funções multivaluadas. Uma função multivaluada é uma aplicaç ...